Ensembles finis Exemples

$\sqrt{2 x} - 5 = \sqrt{3 x - 8}$

Étape 1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x} = \sqrt{3 x - 8} + 5$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x)}^{1} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 x = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$ comme $(\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$ .

$2 x = (\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} (\sqrt{3 x - 8} + 5) + 5 (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{3 x - 8}$ à la puissance $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{3 x - 8}$ à la puissance $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1} {\sqrt{3 x - 8}}^{1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1 + 1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3 x - 8}}^{2}$ comme $3 x - 8$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x - 8}$ comme ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x = {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x = {(3 x - 8)}^{1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$2 x = 3 x - 8 + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{3 x - 8}$ .

$2 x = 3 x - 8 + 5 \cdot \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$2 x = 3 x - 8 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8} + 25$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $- 8$ et $25$ .

$2 x = 3 x + 17 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8}$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $5 \sqrt{3 x - 8}$ et $5 \sqrt{3 x - 8}$ .

$2 x = 3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8}$

Étape 4

Résolvez $10 \sqrt{3 x - 8}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x$ .

$3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $10 \sqrt{3 x - 8}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x - 3 x$

Étape 4.2.2

Soustrayez $17$ des deux côtés de l’équation.

$10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x - 3 x - 17$

Étape 4.2.3

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$10 \sqrt{3 x - 8} = - x - 17$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(10 \sqrt{3 x - 8})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x - 8}$ comme ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10^{2} {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$100 {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$100 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$100 {(3 x - 8)}^{1} = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$100 (3 x - 8) = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$100 (3 x) + 100 \cdot - 8 = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez.

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Étape 6.2.1.6.1

Multipliez $3$ par $100$ .

$300 x + 100 \cdot - 8 = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $100$ par $- 8$ .

$300 x - 800 = {(- x - 17)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(- x - 17)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(- x - 17)}^{2}$ comme $(- x - 17) (- x - 17)$ .

$300 x - 800 = (- x - 17) (- x - 17)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(- x - 17) (- x - 17)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$300 x - 800 = - x (- x - 17) - 17 (- x - 17)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$300 x - 800 = - x (- x) - x \cdot - 17 - 17 (- x - 17)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$300 x - 800 = - x (- x) - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$300 x - 800 = 1 x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$300 x - 800 = x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $- 17$ par $- 1$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 17$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x + 17 x - 17 \cdot - 17$

Étape 6.3.1.3.1.7

Multipliez $- 17$ par $- 17$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x + 17 x + 289$

Étape 6.3.1.3.2

Additionnez $17 x$ et $17 x$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 34 x + 289$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 34 x + 289 = 300 x - 800$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $300 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 34 x + 289 - 300 x = - 800$

Étape 7.2.2

Soustrayez $300 x$ de $34 x$ .

$x^{2} - 266 x + 289 = - 800$

Étape 7.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Ajoutez $800$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 266 x + 289 + 800 = 0$

Étape 7.3.2

Additionnez $289$ et $800$ .

$x^{2} - 266 x + 1089 = 0$

Étape 7.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 266$ et $c = 1089$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{266 \pm \sqrt{{(- 266)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1089)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.1.1

Élevez $- 266$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4 \cdot 1 \cdot 1089}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1089$ .

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Étape 7.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4 \cdot 1089}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1089$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4356}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.1.3

Soustrayez $4356$ de $70756$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{66400}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.1.4

Réécrivez $66400$ comme $20^{2} \cdot 166$ .

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Étape 7.6.1.4.1

Factorisez $400$ à partir de $66400$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{400 (166)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.1.4.2

Réécrivez $400$ comme $20^{2}$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 166}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2}$

Étape 7.6.3

Simplifiez $\frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2}$ .

$x = 133 \pm 10 \sqrt{166}$

Étape 7.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 133 + 10 \sqrt{166}, 133 - 10 \sqrt{166}$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{2 x} - 5 = \sqrt{3 x - 8}$ vrai.

$Aucune solution$